Primitive d'une composée de fonctions

Propriété

Dans le tableau suivant, on note \(f\) une fonction définie sur un intervalle et \(F\) une primitive de \(f\) sur cet intervalle. 

\(\begin{array}{|c|c|} \hline \boldsymbol{f(x)} & \boldsymbol{F(x)} \\ \hline \rule[-0.5cm]{0pt}{1.2cm} u'(x)u(x)^n \quad (n\in\mathbb N) & \dfrac{1}{n+1}[u(x)]^{n+1} \\ \hline \rule[-0.5cm]{0pt}{1.2cm} \dfrac{u'(x)}{[u(x)]^n} \text{ où }(n\geqslant 2) & \dfrac{-1}{(n-1)[u(x)]^{n-1}} \\ \hline \rule[-0.5cm]{0pt}{1.2cm} \dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}} \text{ avec } u(x)>0& 2\sqrt{u(x)} \\ \hline \rule[-0.5cm]{0pt}{1.2cm} \dfrac{u'(x)}{u(x)} \text{ avec } u(x)>0 & \ln[u(x)] \\ \hline u'(x)\text e^{u(x)} & \text e^{u(x)} \\ \hline \rule[-0.5cm]{0pt}{1.2cm} \text e^{ax+b}\ (a\neq 0) & \dfrac1a\text e^{ax+b} \\ \hline \cos(ax+b) \ (a\neq 0) & \dfrac1a \sin(ax+b) \\ \hline \sin(ax+b) \ (a\neq 0)& -\dfrac1a \cos(ax+b) \\ \hline\end{array}\)  

Exemples
1. a. Une primitive de \(x\mapsto 2x(x^2+1)\) sur  \(\mathbb R\) est \(x\mapsto \dfrac 12(x^2+1)^2\) .
En effet, on pose \(u(x)=x^2+1\) , alors \(u'(x)=2x\) .
Et \(2x(x^2+1)=u'u^1(x)\) , dont une primitive sur  \(\mathbb R\)   est  \(x\mapsto \dfrac{1}{2}u^2(x)\) .
    b. Une primitive de \(x\mapsto (7x+1)^2\) sur  \(\mathbb R\) est \(x\mapsto \dfrac{1}{21}(7x+1)^3\) .
En effet, on pose \(u(x)=7x+1\) , alors \(u'(x)=7\) . 
Or \(u'u^2(x) = 7(7x+1)^2\) soit \(\dfrac17u'u^2(x) = (7x+1)^2\) . 
Comme une primitive de \(u'u^2\) est \(\dfrac13u^3\) , alors une primitive de \(\dfrac17u'u^2\) est  \(\dfrac17\times \dfrac13u^3=\dfrac{1}{21}u^3\) .

2. a. Une primitive de \(x\mapsto \dfrac{2x}{x^2+1}\) sur  \(\mathbb R\) est \(x\mapsto \ln(x^2+1)\) .
En effet, on pose \(u(x)=x^2+1\) , donc \(u'(x)=2x\) .
On a bien \(\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) .
Comme pour tout réel \(x\) , \(u(x)>0\)  alors une primitive de  \(x\mapsto \dfrac{2x}{x^2+1}\)   sur  \(\mathbb R\)  est  \(x\mapsto \ln(u(x))\) .
    b. Une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{3x+2}\) sur \(\left]-\dfrac23~;+\infty\right[\)  est \(x \mapsto \dfrac{1}{3}\ln(3x+2)\) .
En effet, on pose \(u(x)=3x+2\) , d'où \(u'(x)=3\) .
Or, \(\dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{3}{3x+2}\)  et,  \(\dfrac{1}{3x+2} = \dfrac13\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) . Comme pour tout \(x>-\dfrac23\) , \(u(x)>0\) , alors une primitive de  \(x \mapsto \dfrac{1}{3x+2}\)  sur  \(\left]-\dfrac23~;+\infty\right[\)  est  \(x\mapsto \dfrac13\ln(u(x))\) . 

3. Une primitive de  \(x\mapsto \sin\left(2x+\dfrac\pi4\right)\) sur  \(\mathbb R\)  est  \(x\mapsto -\dfrac12\cos\left(2x+\dfrac\pi4\right)\) .